从数论到拓扑，DeepSeek-Prover-V2正在重塑数学推理

数学证明一直是智力的试炼场。它不仅在理论研究中占据核心位置，更是科学探索和工程应用的重要基石。随着数学推理问题的复杂性不断提高，自动化数学证明系统面临前所未有的挑战。4 月 30 日，DeepSeek-Prover-V2的问世标志着数学人工智能从探索性尝试迈向更加系统、高效的推理时代。

数学证明的自动化目标由来已久，传统证明系统（如 Lean、Isabelle、Coq）虽然提供了严格的逻辑推理工具，但往往依赖人工输入和规则约束，导致证明过程冗长且难以泛化。此外，这些系统无法充分利用现代大模型的强大推理能力，在复杂数学问题上依然面临挑战。如何让 AI 在数学定理证明上迈出更具创造性的步伐？如何让模型不仅仅是符号操作者，更能像数学家一样拆解问题、推理逻辑？DeepSeek-Prover-V2 的出现，试图填补这条鸿沟。

在数学人工智能领域，神经定理证明（Neural Theorem Proving）是近年来极具潜力的方向。它结合了深度学习与逻辑推理，使模型不仅能够“计算”，更能“推导”。但是数学定理往往涉及层层递进的逻辑结构，单纯依靠通用大模型的自回归生成方式，难以确保证明的完整性与严谨性。因此DeepSeek-AI 研究团队提出了一个核心理念——子目标分解。即：将一个复杂定理拆解为一系列子问题，让 AI 模型逐步递归求解，从而最终构造出完整的数学证明。这种策略不仅模仿了人类数学家的推理思维，也使得神经定理证明模型更具条理性和高效性。

DeepSeek-Prover-V2 的关键使命是建立一个高效、精准的数学证明 AI。它结合了强化学习与递归子目标分解，以提升模型的数学推理能力。其核心策略包括：

• 利用强化学习优化数学证明的推理过程，确保模型逐步接近最优解。
• 构建自然语言推理（Chain-of-Thought，CoT）与正式化 Lean 证明的统一框架，让模型既能理解数学推理，又能生成严格的证明代码。
• 提出两阶段训练策略，分别针对高效生成（non-CoT）与高精度推理（CoT），以满足不同复杂度的问题需求。

这一系列方法的结合，使 DeepSeek-Prover-V2 成为数学 AI 领域的突破性进展。

图1|DeepSeek-Prover-V2的基准性能。在AIME基准测试中，DeepSeekV3使用自然语言推理的标准查找答案任务进行评估，而证明者模型生成精益代码，为给定的正确答案构建形式证明。

DeepSeek-Prover-V2 采用递归子目标分解策略，使复杂定理的推理路径更清晰，同时借助强化学习，使证明过程逐步逼近数学逻辑的严密性。其主要技术创新包括：

• 提出新型递归子目标分解方法，能够自动拆解复杂定理，提高推理的可读性与可操作性。
• 采用两阶段训练策略：
  1.非链式推理模式（non-CoT） 侧重于快速生成 Lean 证明，适用于高效数学验证任务。
  2.链式推理模式（CoT） 强调逐步阐述数学推理过程，使证明过程更透明、更符合人类数学家推理习惯。
• 强化学习优化推理过程，通过策略改进和奖励信号，引导模型生成更高质量的数学证明。
• 冷启动数据生成技术，结合 DeepSeek-V3 的数学推理能力，构建高质量数学训练数据，使 AI 在复杂数学问题上具备更强的泛化能力。

这一系列创新，使 DeepSeek-Prover-V2 在多个数学基准数据集上取得了显著的突破：

• miniF2F 通过率达 88.9%，刷新神经定理证明模型的记录。
• ProofNet 在本科数学问题上的推理表现优异，展现出良好的泛化能力。
• PutnamBench 成功解决 49/658 道数学竞赛问题，突破 AI 在高等数学推理上的瓶颈。
• CombiBench 在组合数学问题上的表现也表明其推理能力已不仅限于数论和代数领域。
• ProverBench 作为最新的数学基准测试，DeepSeek-Prover-V2 在多个数学领域均展现了领先的推理能力。

图2|DeepSeek-Prover-V2采用的冷启动数据收集过程概述。我们首先提示DeepSeek-V3生成一个自然语言证明草图，同时将其形式化为精益语句，并为省略的证明细节添加抱歉占位符。然后7B证明模型递归求解分解的子目标。通过结合这些子目标证明，我们为原始复杂问题构建了一个完整的形式证明。这个组合证明被附加到DeepSeek-V3的原始思维链中，为形式化数学推理创建了高质量的冷启动训练数据。

这些数据表明，DeepSeek-Prover-V2 不仅在数学定理证明方面有着卓越表现，还展示了数学推理 AI 在更广泛数学应用中的潜力。

DeepSeek-Prover-V2 由 DeepSeek-AI 研究团队研发，该团队长期专注于人工智能数学推理与神经定理证明技术。研究团队汇聚了来自数学、人工智能、自然语言处理等领域的专家，推动自动化数学证明技术的发展。核心成员包括 Z.Z. Ren、Zhihong Shao、Junxiao Song 等，他们在数学 AI 领域有着深厚的研究积累。此外，Huajian Xin、Haocheng Wang、Wanjia Zhao 等研究人员在 DeepSeek-AI 实习期间对模型优化和数学理论研究贡献了重要力量。这支团队的工作不仅推动了 AI 在数学推理上的突破，也为未来的数学自动化铺平了道路。

1.核心技术方法

数学推理的魅力在于其严谨性和层层递进的逻辑链，而数学定理的证明则是一种智力上的艺术。DeepSeek-Prover-V2 作为最新的人工智能数学推理工具，以其创新的子目标分解方法和强化学习技术，成功迈出自动化数学证明的重要一步。

递归子目标分解：让 AI 学会“分步解决”

数学家在解决复杂定理时，通常会先拆解目标，把大问题分解成一个个较小的命题或引理（lemma），然后逐步推理。这种人类数学家的分步证明思维，正是DeepSeek-Prover-V2 的核心灵感。

图3|我们如何将分解的子目标转化为一系列引理语句的说明性示例。我们首先（a）替换原始目标状态，然后（b）将前面的子目标作为前提。陈述类型（b）用于递归解决复杂问题，而类型（a）和（b）都被纳入课程学习过程。

DeepSeek-Prover-V2 采用 递归子目标分解（Recursive Proof Search via Subgoal Decomposition） 的策略，让 AI 模型像数学家一样拆解问题，使证明过程更有条理。它的工作流程如下：

• 利用 DeepSeek-V3 生成高层次的证明草稿——首先，模型会使用自然语言推理方式梳理问题，形成解决方案的大致轮廓。
• 自动将自然语言推理步骤转换为 Lean 形式化证明代码——为了确保证明的严谨性，DeepSeek-V3 将初步推理转换成 Lean 4 代码，使其具备正式验证能力。
• 采用轻量级 7B 证明模型递归验证子目标——模型在Lean 4 中不断调用小规模证明器，逐层验证各个子目标，最终拼接成完整的数学证明。

这一方法不仅提升了模型的求解能力，还为数学证明的自动化提供了一条清晰的技术路径。通过这种层次化的推理方式，AI 不再是简单的符号操作者，而是逐步接近真正的数学推理者。

强化学习在数学证明搜索中的应用

自动化数学证明并不仅仅是生成代码，更需要优化推理过程，使模型能够更高效地找到正确答案。DeepSeek-Prover-V2 采用 强化学习（Reinforcement Learning） 技术，以奖励机制来引导模型进行更合理的推理。

其训练流程可分为两大阶段：

第一阶段：专家迭代与课程学习（Expert Iteration & Curriculum Learning） 在这一阶段，模型的目标是学习如何高效地构建 Lean 证明。团队采用专家迭代的方式，让 AI 从已有的数学证明中学习，并逐步优化自己的证明策略。同时，课程学习方法引入更具挑战性的数学问题，使 AI 在递归子目标分解的过程中，不断提高自身推理能力。

第二阶段：冷启动链式推理（Cold-start CoT Reasoning）与强化学习优化

• 利用 DeepSeek-V3 生成高质量数学推理数据，确保 AI 在数学推理层面的连贯性。
• 采用 Group Relative Policy Optimization (GRPO) 进行奖励优化，相比传统的 PPO（Proximal Policy Optimization），GRPO 通过对比多种证明方案的相对表现进行优化，使 AI 更容易找到高质量的证明路径。
• 二元奖励信号机制：AI 生成的 Lean 证明若通过验证，奖励 1 分；若失败，则奖励 0 分。这种简单而高效的奖励机制确保 AI 只朝着正确的方向优化，而不会误入歧途。

通过强化学习的深度优化，DeepSeek-Prover-V2 不仅提高了数学证明的准确性，还使得推理过程更加系统化，减少了随机性带来的错误。

非链式 vs. 链式推理：两种不同的证明模式

DeepSeek-Prover-V2 采用了 两种证明模式，分别适用于不同的数学问题场景：

• 非链式推理模式（Non-CoT） 该模式侧重于快速生成简洁 Lean 证明代码，没有显式的推理步骤。适用于数学计算密集型任务，比如简单数论、代数计算等。
• 链式推理模式（CoT） 该模式采用 Chain-of-Thought（CoT） 策略，详细呈现推理过程，使证明过程更透明、更符合人类数学家的逻辑思维方式。适用于复杂定理的推导，如多步骤推理、高阶数学问题等。

从实验数据来看，链式推理模式在复杂数学问题上的表现明显优于非链式模式：

• 非链式模式生成的 token 量较少，但证明过程较短。
• 链式模式生成的 token 量较多，但推理过程更完整，并且通过率更高。

令人惊讶的是，尽管非链式推理模式并不会显式输出中间推理步骤，但在 DeepSeek-Prover-V2 的大规模模型（671B）中，AI 会 自动插入简短的自然语言注释，相当于隐式推理。这表明大型 AI 可能会在无监督推理中自然构建出推理链，即使它没有明确被要求这么做。

2.实验与评测结果

数学证明的自动化是人工智能的一项重大挑战，而 DeepSeek-Prover-V2 在多个数学基准测试上展现了前所未有的推理能力。无论是高中数学竞赛级问题，还是本科难度的数学定理，该模型都表现出了出色的适应性。

MiniF2F：数学竞赛级问题的挑战

MiniF2F 是专门针对 数学竞赛级问题 设计的基准数据集，涵盖来自 IMO（国际数学奥林匹克）、AIME（美国邀请数学竞赛）、AMC（美国数学竞赛） 以及 MATH 数据集的数学难题。该数据集分为两个部分：

• miniF2F-valid：用于训练阶段的课程学习，包含 244 个问题。
• miniF2F-test：专门用于模型最终评测，也包含 244 个问题，确保数学难度与 miniF2F-valid 保持一致。

DeepSeek-Prover-V2 在该测试集上的表现 大幅领先现有数学推理模型：

• miniF2F-test 通过率达 88.9%，创下神经定理证明的新纪录。
• 链式推理模式（CoT）比非链式推理模式（non-CoT）表现更佳，CoT 使模型能够分步骤推理，提升数学逻辑的透明度。
• 模型在 AIME 竞赛题上的通过率达 93.3%，证明其适用于复杂数学竞赛问题。

表2|DeepSeek-Prover-V2-671B在miniF2F基准测试中解决的问题。在整个课程学习过程中收集miniF2F有效的结果，并进一步调用DeepSeek-ProverV2-671BPass@8192关于剩余的问题。

这些数据表明，DeepSeek-Prover-V2 在多个数学分支上均展现了优越的数学推理能力，尤其在竞赛级问题上的表现尤为突出。

本科数学：ProofNet & PutnamBench 评测

数学竞赛问题的成功并不意味着 AI 已经能够完全掌握高等数学。为了进一步测试其在 本科数学推理 方面的能力，研发团队将其应用于 ProofNet 和 PutnamBench 数据集。

ProofNet：本科数学定理的验证

ProofNet 是专门收录 本科级数学教材 中的定理证明数据集，其中包含 实分析、复分析、线性代数、抽象代数和拓扑学 等多个领域的问题。研究团队将该数据集转换为Lean 4 格式，以便进行数学形式化证明。

DeepSeek-Prover-V2 在 ProofNet 上的实验显示：

• 链式推理模式（CoT）在 ProofNet 测试集上的通过率显著高于非链式推理模式。
• 该模型的训练数据主要来自高中数学，但仍能泛化到更复杂的本科数学问题，体现了其良好的数学推理能力。

表3|DeepSeek-Prover-V2在miniF2F测试中生成的令牌的平均数量。

PutnamBench：挑战高等数学

PutnamBench 由 普特南数学竞赛 的问题组成，该竞赛被认为是 本科生数学的最高难度挑战，涵盖 分析、线性代数、代数、组合数学、概率论和集合论 等多个高级数学领域。

在 PutnamBench 的测试中，DeepSeek-Prover-V2-671B 成功解决了 49/658 个问题，而其他同类 AI 证明模型在这一测试集上的表现则远低于此。特别值得注意的是：

• 链式推理模式（CoT）比非链式模式更适合处理复杂数学问题，使模型在高维度数学推理任务上表现更佳。
• 7B non-CoT 模型意外地解决了 13 道 671B模型未解决的问题，表现出更强的数学技巧泛化能力。

表4|ProofNet测试和PutnamBench的实验结果。GoedelProver SFT和STP在PutnamBench上的得分来源于他们的原始论文，这些论文对PutnamBench的早期版本进行了评估，该版本包含644个问题。

这些结果显示，DeepSeek-Prover-V2 不仅能应对高中竞赛级数学问题，还能处理本科及竞赛级高等数学推理任务。

组合数学 & ProverBench 评测

DeepSeek-Prover-V2 的数学推理能力是否适用于更具挑战性的组合数学问题？研究团队对此进行了测试。

CombiBench：组合数学的挑战

CombiBench 由 100 道组合数学问题 组成，每个问题均已转换为 Lean 4 格式。研究团队采用 with-solution 评测方式，排除了答案生成因素，仅关注 AI 证明能力。

结果表明：

• DeepSeek-Prover-V2-671B（CoT）成功解决12/100 道问题，比其他模型更具优势。
• 该模型虽然主要在数论和代数领域训练，但仍能泛化到组合数学问题，展现了出色的数学适应性。

ProverBench：AIME 竞赛题目正式化

ProverBench 是 最新的数学定理证明基准，结合了 325 道数学问题，其中 15 道来自 AIME 24&25 数学竞赛，用于评估 AI 的数学推理能力。

DeepSeek-Prover-V2 在 ProverBench 的表现：

• 671B CoT 模型在所有 325 道问题中的通过率达 59.1%，远超其他数学证明 AI。
• 在 AIME 24&25 正式化问题上，CoT 版本成功解决 6/15 题，接近自然语言推理模型 DeepSeek-V3 的成绩，表明 AI 在非正式数学推理与正式化证明之间的差距正在缩小。

3.讨论与展望：自动数学推理的下一步该如何迈进？

DeepSeek-Prover-V2 作为神经定理证明领域的创新之作，以其卓越的数学推理能力，推动了人工智能在数学领域的深度应用。它的成功不仅体现在多个数学基准测试上的领先成绩，更重要的是，它所采用的技术路径——递归子目标分解与强化学习优化——为数学 AI 未来的发展奠定了坚实基础。那么，DeepSeek-Prover-V2 的优势在哪些方面最为突出？它是否仍然存在技术上的局限？未来的研究方向该如何规划？让我们从这些问题入手，探讨数学 AI 的未来。

技术优势总结

首先，DeepSeek-Prover-V2 的成功离不开以下三大核心技术创新：

子目标分解：让 AI 的数学推理更系统

数学证明的复杂性往往来自于多层逻辑关系，DeepSeek-Prover-V2 采用递归子目标分解策略，让 AI 学会“分步解决”问题。它能够自动拆解复杂定理，构造可行的数学推理路径，而不是单纯依赖通用大模型的自回归推理。这使得 AI 在解决数学问题时更加系统化，同时也提高了证明的可读性。

强化学习优化推理过程

神经定理证明的难点在于如何引导 AI 生成高质量的数学证明，而不仅仅是形式化的 Lean 代码。DeepSeek-Prover-V2 通过强化学习策略，将自然语言推理（Chain-of-Thought）与正式数学证明紧密结合，使 AI 能够逐步缩小非正式推理与严格逻辑之间的鸿沟。这种方法有效提升了 AI 的数学直觉，使其在不同数学领域的应用更加灵活。

双模式生成策略：效率与精度兼具

数学证明任务有时需要快速计算，有时则需要精准推理。DeepSeek-Prover-V2 提供了两种模式：

• 非链式推理模式（non-CoT）：适用于快速生成 Lean 证明代码，强调计算效率。
• 链式推理模式（CoT）：用于详细推理，强调数学逻辑的透明度。

这种模式选择的灵活性使模型在不同场景下都能找到最优的推理策略，确保数学证明既能高效生成，又能保持逻辑严密性。

局限性与挑战

尽管 DeepSeek-Prover-V2 取得了突破性进展，但仍有一些值得深入研究的挑战：

1. 自然语言注释的作用仍需明确

在非链式模式下，DeepSeek-Prover-V2 有时会自动生成自然语言注释，但这些注释究竟是在数学推理过程中发挥了哪些作用？它们是否仅仅是 AI 在 Lean 代码中的“修饰符”，还是在推理过程中隐式地引导了 AI 的逻辑思维？这一问题值得进一步研究，以便优化 AI 在数学领域的语言表达能力。

2. 拓扑学、概率论等领域的推理仍需提升

目前，DeepSeek-Prover-V2 的主要优势集中在数论、代数、线性代数等结构化数学领域。而在拓扑学、概率论等数学分支中，AI 仍然面临较高难度的逻辑构造问题。例如，拓扑学问题涉及复杂的空间结构，概率推理需要灵活应对不确定性数据。这些数学领域的证明仍然是 AI 需要攻克的难题。

3. 计算资源与数据规模的挑战

DeepSeek-Prover-V2 依赖于 大规模数据 和 计算资源，在实践应用中仍面临一定限制。虽然其强化学习策略优化了证明生成过程，但如何在较低计算成本下维持高精度推理仍是 AI 研究中的关键问题。此外，数学证明数据的质量直接影响 AI 的泛化能力，目前仍需不断扩充数据集，以支持更广泛的数学推理任务。

未来研究方向

数学 AI 的下一步该如何发展？DeepSeek-Prover-V2 提供了一条清晰的技术路径，但它的潜力远不止于当前的数学证明任务。以下是几个值得探索的方向：

1. 迈向 AlphaProof 级别的数学证明

DeepSeek-Prover-V2 已经在多个数学竞赛数据集上展现了出色的推理能力，但它是否能解决 IMO（国际数学奥林匹克） 级别的数学问题？未来，研究团队或许可以借鉴 AlphaProof 系统的方法，进一步优化子目标分解策略，使模型能够应对更复杂的数学问题。

2. 拓展子目标分解策略到其他数学领域

目前，该技术主要应用于数论、代数等结构化数学领域。未来，它是否可以扩展到 拓扑学、概率论、微分方程，甚至物理学、工程科学中的数学推导任务？如果 AI 能在这些更复杂的数学领域建立推理能力，它或许能够成为真正的科学计算助手。

3. 多模态数学推理与证明的结合

DeepSeek-Prover-V2 在数学推理上取得了突破，但是否可以进一步整合 图像、文本、符号表达，实现多模态数学推理？例如，在拓扑学和几何问题中，AI 能否结合 数学公式+图像分析，推导更直观的证明？这一方向或许能够让 AI 不仅能处理符号推理，还能在视觉数学领域有所突破。

DeepSeek-Prover-V2 的技术突破，让数学自动化证明成为现实。它不仅优化了数学推理过程，还提供了有效的递归子目标分解方法，进一步缩小了自然语言推理与正式数学证明之间的鸿沟。当然，数学 AI 的挑战仍然存在，但其潜力远比我们想象的更广阔。从 IMO 级数学竞赛到科学研究中的数学推导，AI 的数学能力正逐步迈向一个新时代。或许在不久的将来，数学家们会发现，他们的 AI 研究助手不仅能提供证明，还能提出新的数学定理，为数学发现开辟全新的可能性。

参考资料：​​​https://github.com/deepseek-ai/DeepSeek-Prover-V2/blob/main/DeepSeek_Prover_V2.pdf​​

本文转载自​​独角噬元兽​​，作者：FlerkenS​