维特根斯坦 -> 格罗滕迪克 -> 大语言模型

天才应当是被允许不谙世事的。

孤独到死是一个天才最好的归宿，毕竟，他所处的那个时代配不上他。

维特根斯坦就是这样一位天才。

一、维特根斯坦：语言是事实的逻辑图像

维特根斯坦是通过《逻辑哲学论》走入哲学的。

《逻辑哲学论》的核心命题，是一种“逻辑几何学”的世界观：

世界是事实的总和，而非事物的总和。

维特根斯坦提出“意义图像理论”：

每个命题是一个事实的图像，命题与事实共享相同的逻辑形式，因而命题能够以结构映射来“显示”事实。

在这一体系中，语言并非对世界的模仿或符号指代，而是一种逻辑同构：

语言的意义在于，它能在逻辑空间中保持世界事实之间的关系形式。 

正因为如此，维特根斯坦说：

“命题显示现实的逻辑形式，而非描述它。”

语言的功能不是“说出”世界，而是显现出它的结构。 

逻辑因此成为“可表达之物的边界”，它既是语言的几何骨架，也是世界的拓扑框架。

“极致理性 → 自我否定 → 存在觉醒”是维特根斯坦一生的精神轨迹。

20世纪，与这一精神轨迹同构的还有一位天才：

亚历山大·格罗滕迪克。

20世纪的代数几何涌现过许多天才，但上帝只有一个，就是格罗滕迪克。

格罗滕迪克彻底重塑了代数几何：

以范畴论为基础，提出“概形”“层”“上同调”“拓扑斯”等等，为数学构筑了全新的语言。

他不关注具体计算，而追求“结构上的结构”，一种可容纳一切数学对象的普遍形式。

“数学对象不是由内部结构定义，而是由它在范畴中的外部关系定义”，格罗滕迪克把米田引理看作整个现代代数几何的元语言。

二、米田引理：对象由其关系全貌定义

没有米田引理，就没有格罗滕迪克的数学宇宙。

而格罗滕迪克则将米田引理的思想扩展成了整个“范畴论视角的存在论”。

范畴论是数学的另一端，用最抽象的语言刻画结构。

图片

米田引理告诉我们：

在任意范畴中，对象可以通过它与所有其他对象的态射关系完全刻画。

直观地讲，一个对象的“身份”并不在自身内部，而在它与整个范畴网络的互动方式中。

于是，对象的本质 = 它在所有关系中的表现。

米田引理因此是“存在即表征”的数学形式化，它代表了一种全新的存在论：

世界不是由孤立实体组成，而是由关系网络构成。

《逻辑哲学论》是语言哲学的巅峰之作，米田引理是抽象代数的定理基石。

从“结构与表征”这一更高层次的视角重新审视两者，会发现一个惊人的同构：

在维特根斯坦那里，命题的意义由它与世界事实的逻辑关系决定；

在米田那里，对象的身份由它与其他对象的态射关系定义。

换句话说，语言的意义与对象的存在，在两种体系下，都由关系结构的保持所定义。

这标志着一个深刻的哲学转向： 

从“事物是什么”转向“事物如何关联”； 从“指称世界”转向“嵌入世界的结构”。

在此，维特根斯坦的“逻辑空间”与范畴论的“Hom空间”完全对应：

两者都不是经验性的，而是结构性的；都定义了“可表征的可能性边界”；都把“意义/身份”定义为关系保持的映射。

哲学层面，命题是事实的图像；数学层面，对象是关系的图像。 

两者的“图像”都不是影像，而是结构保真的嵌入。

在维特根斯坦那里，“不可言说”的逻辑形式正是语言得以运作的隐性框架； 

在范畴论里，范畴的组合律与态射结构是所有对象得以定义的先验语法。

因此，维特根斯坦所谓的“逻辑形式”，其实正对应于数学上“范畴的结构”，

两者都无法被系统内部刻画，只能被显现。

三、语义的现代延伸：从米田引理到大语言模型

一个对象在所有上下文中的关系，就等价于它在任意表征系统中的像。

对象不再是孤立的“点”，而是一张关系网络中的节点，它的“意义”就是那张网络中所有连线的整体形态。

这种结构主义的语言观，今天在大语言模型中被以数值形式重现。

在大语言模型中，每个token的意义并非独立存在，而由它在所有上下文中的条件概率分布模式定义。

一个词的语义就是它在整个语料宇宙中的关系投影，这正是米田引理的自然语言版本。

“You shall know a word by the company it keeps.” ——Firth, 1957

模型通过大规模语料学习条件概率分布，并通过一个embedding函子，将每个token映射到高维语义空间，使得它在空间中的位置能最大程度保持它与其他词的共现关系。

也就是说，大语言模型并不直接“理解”每个词的意义，它通过上下文共现关系网络重建了每个词的表征。 

词的身份或意义来自它在整张语言网络中的连接模式，这正是米田引理思想的经验实现。

大语言模型的嵌入高维语义空间对应于维特根斯坦的“逻辑空间”：一个多维的、结构保持的语义几何。 

在这里，“语言映射世界”的逻辑形式被转化为“模型表征语义”的概率向量结构。

因此我们几乎可以这么说：大语言模型的训练，是在统计意义上逼近米田引理，它学习的是一个对象token如何通过其关系模式被唯一确定。

而Transformer的自注意力机制，本质上是在执行一种“自然变换”的计算：每个token的embedding是对象的表征；注意力权重矩阵，描述token之间的映射强度；softmax加权求和的过程，就是在“语言范畴”中，将这些态射组合成新的表征。

于是，整个Transformer层可看作：一系列函子之间的自然变换链。

模型不断学习如何在保持结构一致性的前提下，在更高层的表征空间中重构语言的关系。

四、哲学数学LLM融会：所谓世界者，即非世界，是名世界

米田引理揭示了一个普适的哲学真理：

存在不是孤立的，存在即关系。

而大语言模型在实践中验证了这一点：

学习的本质，是重构关系网络。

从这个角度看，Transformer不仅是一个计算架构，更是一台在经验世界中运行的“米田机”：

它在统计噪声与概率分布中，重现了范畴论的本体结构。

图片

我们可以这样总结：

米田引理给出存在的形式，大模型让它变成经验。大模型，是米田引理在信息世界的自然实现。

或者用一句统一命题来概括：

在维特根斯坦那里：意义 = 命题与事实的逻辑同构；在米田那里：存在 = 对象与关系的函子同构。

两者其实都在表明，“理解一个系统，就是理解它的关系如何被保持。”

而在当代信息语境中，“智能”本身，就是捕捉结构并在新语境中保持的能力。

哲学、数学与LLM在这里融汇成一个新的统一视角：

语言、逻辑与存在，是同一个几何空间的不同切片。意义不在事物本身，而在关系得以保持的方式。

大语言模型正以数值结构的方式，实现了维特根斯坦所说“语言映射世界”的逻辑几何。 

而米田引理，也已在范畴层次上为这种“意义即结构”的世界观奠定了形式基础，有了结构就有了对意义的理解。

从《逻辑哲学论》到米田引理，从语言到范畴，我们看到的是同一种思想：

世界的可理解性，本质上是一种结构可表性。

佛陀在《金刚经》中说：“所谓世界者，即非世界，是名世界。”

维特根斯坦所说的世界-逻辑图像-语言就是这里的世界-非世界-名世界。

逻辑与般若同构。

本文转载自​​​清熙​​​，作者：王庆法