Java 数据结构与算法之树(AVL)

开发 前端
在计算机科学中,AVL 树以其两位苏联发明家Georgy Adelson-Velsky和 Evgenii Landis的名字命名,他们在 1962 年的论文“信息组织算法”中发表了它。它是一种自平衡二叉搜索树(BST),这是发明的第一个这样的数据结构。

一、前言

AVL树历史

在计算机科学中,AVL 树以其两位苏联发明家Georgy Adelson-Velsky和 Evgenii Landis的名字命名,他们在 1962 年的论文“信息组织算法”中发表了它。它是一种自平衡二叉搜索树(BST),这是发明的第一个这样的数据结构。

二、AVL树数据结构

AVL 自平衡二叉树的出现,其目的在于解决二叉搜索树退化成链表的问题。当我们向BST二叉搜索树顺序存入1、2、3、4、5、6、7个元素时,它会退化成一条链表,因而失去树查询的时间复杂度,所以我们需要AVL树平衡树高。如图所示:

图片

那么AVL树是怎么平衡树高的呢?

当二叉树的左右分支树高差不为1时,需要进行左旋或者右旋,来调衡树高。这有点像开车的时候,如果车头偏左就往右打方向盘,车头偏右就往左打方向盘是一个道理。那这个方向盘(左旋、右旋)是怎么打的呢,主要分以下四种情况;

左旋(新增节点6)

右旋(新增节点1)

左旋+右旋(新增节点4)

右旋+左旋(新增节点3)

图片

图片

图片

图片

条件:节点4,平衡因子为-2,左旋

条件:节点3,平衡因子为2,右旋

条件:节点3,平衡因子为2,右旋。但当节点2平衡因子-1先左旋。

条件:节点2,平衡因子为-2,左旋。但当节点5平衡因子1先右旋。

节点树高:以节点4为说明,最长的左右分支节点个数,就是节点4的最大树高。这里节点4左右孩子节点最长路径都为2,所以它的树高为2。同理可计算其他节点树高。

平衡因子:通过当前节点的左右子节点作差计算平衡因子,之后AVL树通过平衡因子,定义了什么时候进行左旋和右旋。

三、AVL树代码实现

对于 AVL 树的实现与 BST 二叉搜索树相比,在树的节点定义上多了一个树高的属性。也有些AVL树使用的是平衡因子的属性,就是通过树高计算后的结果。树节点代码结构如下;

public class  {

public Class<?> clazz;
public Integer value;
public Node parent;
public Node left;
public Node right;

public int height;

}

接下来小傅哥就分别通过代码讲解下一颗AVL树的左旋、右旋、左旋+右旋、右旋+左旋的代码操作。不要担心这没有多复杂,只要你能搞清楚左旋,就能搞清楚右旋。两旋弄懂组合就没啥难度了。

源码地址:https://github.com/fuzhengwei/java-algorithms

本章源码:https://github.com/fuzhengwei/java-algorithms/tree/main/data-structures/src/main/java/stack

动画演示:https://visualgo.net/zh/bst?slide=1 —— AVL树初次理解还是比较困难的,可以结合学习内容的同时做一些动画演示。

1. 左旋

图解左旋操作;它就是一种摘链更换调整节点的处理过程,小傅哥把它分解展示,整个过程如下;

图片

代码实现:

protected Node (Node node) {
Node temp = node.right;
temp.parent = node.parent;

node.right = temp.left;
if (node.right != null) {
node.right.parent = node;
}

temp.left = node;
node.parent = temp;

if (temp.parent == null) {
root = temp;
} else {
if (temp.parent.left == node) {
temp.parent.left = temp;
} else {
temp.parent.right = temp;
}
}
return temp;
}

左旋的作用,相当于通过向上迁移树高差大于1的右子节点来降低树高的操作。

通过节点4拿到父节点2和右子节点5,把父节点2和右子节点5建立关联

节点5的左子节点,相当于是大于4小于4的那么一个值,只不过这里不体现。那么这个节点4的左子节点,应该被迁移到节点3的右子节点上。

整理节点5的关系,左子节点为4。左子节点4的父节点为5

如果说迁移上来的节点5无父节点,那么它就是父节点 root = temp

迁移上来的节点5,找到原节点4是对应父节点的左子节点还是右子节点,对应的设置节点5的左右位置

2. 右旋

图解右旋操作;它就是一种摘链更换调整节点的处理过程,小傅哥把它分解展示,整个过程如下;

图片

代码实现:

protected Node (Node node) {
Node temp = node.left;
temp.parent = node.parent;
node.left = temp.right;
if (node.left != null) {
node.left.parent = node;
}
temp.right = node;
node.parent = temp;
if (temp.parent == null) {
root = temp;
} else {
if (temp.parent.left == node) {
temp.parent.left = temp;
} else {
temp.parent.right = temp;
}
}
return temp;
}

右旋的作用,相当于通过向上迁移树高差大于1的右子节点来降低树高的操作。

通过节点3拿到父节点4和左子节点2,把父节点7和左子节点2建立关联

节点2的右子节点,相当于是大于2小于3的那么一个值,只不过这里不体现。那么这个节点2的右子节点,应该被迁移到节点3的左子节点上。

整理节点2的关系,右子节点为3。右子节点3的父节点为2

如果说迁移上来的节点2无父节点,那么它就是父节点 root = temp

迁移上来的节点2,找到原节点3是对应父节点的左子节点还是右子节点,对应的设置节点2的左右位置

3. 左旋 + 右旋

之所以会有左旋 + 右旋,是因为一次右旋操作没法平衡树高,而这种树的不平衡节点的左子节点的右子节点过长,所以要把不平衡节点的左子节点向左旋转一次,之后再进行右旋操作。

图片

代码实现:

if (factor(node.left) >= 0) {
Node temp = super.rotateRight(node);
refreshHeight(temp.right);
refreshHeight(temp);
} else {
Node temp = super.rotateLeft(node.left);
refreshHeight(temp.left);
refreshHeight(temp);
node.left = temp;

temp = super.rotateRight(node);
refreshHeight(temp.right);
refreshHeight(temp);
}

4. 右旋 + 左旋

之所以会有右旋 + 左旋,是因为一次左旋操作没法平衡树高,而这种树的不平衡节点的右子节点的左子节点过长,所以要把不平衡节点的右子节点向右旋转一次,之后再进行左旋操作。

图片

代码实现:

if (factor(node.right) <= 0) {
Node temp = super.rotateLeft(node);
refreshHeight(temp.left);
refreshHeight(temp);
} else {
Node temp = super.rotateRight(node.right);
refreshHeight(temp.right);
refreshHeight(temp);
node.right = temp;

temp = super.rotateLeft(node);
refreshHeight(temp.left);
refreshHeight(temp);
}

四、AVL树功能测试

为了验证AVL树的实现正确与否,这里我们做一下随机节点的插入,如果它能一直保持平衡,那么它就是一颗可靠 AVL 平衡树。

单元测试:

public void () {
AVLTree tree = new AVLTree();
for (int i = 0; i < 30; i++) {
tree.insert(new Random().nextInt(100));
}
System.out.println(tree);
}

测试结果:

输入节点:61,3,34,82,1,75,56,65,87,18,3,96,53,50,42,24,69,11,95,69,1,1,84,22,5,70,28,55,38,92

/----- 96(0)
/----- 95(1)
| \----- 92(0)
/----- 87(2)
| | /----- 84(0)
| \----- 82(1)
/----- 75(3)
| | /----- 70(0)
| | /----- 69(1)
| \----- 69(2)
| \----- 65(0)
61(5)
| /----- 56(1)
| | \----- 55(0)
| /----- 53(2)
| | | /----- 50(0)
| | \----- 42(1)
| | \----- 38(0)
\----- 34(4)
| /----- 28(0)
| /----- 24(1)
| | \----- 22(0)
| /----- 18(2)
| | \----- 11(1)
| | \----- 5(0)
\----- 3(3)
| /----- 3(1)
| | \----- 1(0)
\----- 1(2)
\----- 1(0)


Process finished with exit code 0

随机插入30个节点,每个节点的顺序已经打印,经过AVL左右旋调衡后,二叉结构始终保持树高平衡因子不超过1,那么验证通过。

责任编辑:武晓燕 来源: bugstack虫洞栈
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