一分钟了解 RSA 算法到底是个什么鬼?

开发 前端
本文将概述 RSA 算法的流程,并用一个简单示例进行阐述,最后讲解了一种意想不到的“旁门左道”的破解方式。

背景

大家好,我是石头哥。

RSA 算法大家肯定都听说过了,它是一种常见的非对称加密算法,常用来对一些在网络上传输的敏感信息进行加密。

但具体流程不知道大家清楚不?本文将概述 RSA 算法的流程,并用一个简单示例进行阐述,最后讲解了一种意想不到的“旁门左道”的破解方式。

RSA 算法流程

具体算法流程如下:

找到互质的两个数, p 和 q, 计算 N = p*q

确定一个数 e, 使得 e 与 (p-1)(q-1) 互质, 此时公钥为 (N, e), 告诉给对方

确定私钥 d, 使得 e*d-1能够被(p-1)(q-1)整除

消息传输方传输消息 M, 加密密文C为:

消息接受方通过收到密文消息 C, 解密消息 M:

RSA算法依赖于欧拉定理,一个简化版本为大致为 a 和 p 互质,那么有:

即a 的 p-1 次方 对 p 取余为1,(a 的 p-1次方减去1可以整除 p)

欧拉定理的证明比较复杂,可以参考下文末的参考资料。

举个例子

还是用个简单示例来说明:

N = pq, 取俩素数 p=11, q = 3, N = p * q = 33, 取 e 与 (p-1)(q-1) = 20 互质的数 e = 3, 然后通过

确定私钥, 即取一个 d 使得 3*d -1 能 20 被整除, 假设取 d=7 或者d=67。(3*7-1=20 当然能被20整除, 3*67-1=200 也能被20整除)

因此 public key 为 (N=33, e=3), private key 为 d=7 或者d=67。

假设加密消息M=8, 通过加密算法,得到密文 C=8^3 % 33 = 17。

再来看解密, 由,得到明文 M = 17^7 % 33 = 8 或者 M=17^67 % 33=8, 是不是很神奇? (这里^ 表示多少次方,后文中的有的表示异或)

来, 安利一个计算器的工具, bc 命令, 支持任意精度的计算, 其实 Mac简单的计算就可以通过前面介绍的 Alfred 可以方便得完成。

linux计算器

RSA 破解

如果需要破解 RSA 的话,就是需要找到 p 和 q, 使得 pq=33, 如果知道了 p 和 q 就能通过公钥 N 和 e 反推出私钥 d 了。

当然上面所述的案例较简单,当 N 很大时,就特别困难了。大数分解在历史以来就一直是数学上的难题。

曾经有人花了五个月时间分解了这个数39505874583265144526419767800614481996020776460304936454139376051579355626529450683609727842468219535093544305870490251995655335710209799226484977949442955603(159位数), RSA-155 (512 bits) [from wikipedia]。

这条路走不通, 就有人走了"旁门左道"了, Stanford 的几个研究者用了两个小时破解了 OpenSSL 0.9.7 的 1024-bit 的 RSA 私钥 (感兴趣的同学可以看他们的论文Remote Timing Attacks are Practical),用到的方法就是后面提到的时序攻击(或译为"计时攻击")。

计时攻击(Timing Attack)

计时攻击是边信道攻击(或称"侧信道攻击",Side Channel Attack,简称 SCA) 的一种, 主要是一种利用不同的输入会有不同的执行时间这个特点进行的。

刚开始看到这个,我还是大为震惊的。凭直觉想,感觉要实际应用起来干扰项太多了,是不是可以直接忽略?

不过,看到上述论文有实际攻破成功的案例,以及各大编程语言纷纷补丁来看,这样做还是非常需要的,至少是“政治”正确的。

例如 JDK 1.6.0_17 中的Release Notes 中就提到了 MessageDigest.isEqual中的 bug 的修复,如下图所示:

MessageDigest.isEqual计时攻击

参考资料:

[Timing Attacks on RSA: Revealing Your Secrets through the Fourth Dimension](http://www.cs.sjsu.edu/faculty/stamp/students/article.html)

[Remote Timing Attacks are Practical](http://crypto.stanford.edu/~dabo/papers/ssl-timing.pdf)

[费马小定理](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86)


责任编辑:武晓燕 来源: 程序猿石头
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