最大子序和,又贪心又DP

开发 前端
本题的贪心思路其实并不好想,这也进一步验证了,别看贪心理论很直白,有时候看似是常识,但贪心的题目一点都不简单!

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从本题开始,贪心题目都比较难了!

 最大子序和

力扣题目链接:https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray

给定一个整数数组 nums ,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。

示例: 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 输出: 6 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6。

暴力解法

暴力解法的思路,第一层for 就是设置起始位置,第二层for循环遍历数组寻找最大值

时间复杂度:O(n^2) 空间复杂度:O(1)

  1. class Solution { 
  2. public
  3.     int maxSubArray(vector<int>& nums) { 
  4.         int result = INT32_MIN; 
  5.         int count = 0; 
  6.         for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { // 设置起始位置 
  7.             count = 0; 
  8.             for (int j = i; j < nums.size(); j++) { // 每次从起始位置i开始遍历寻找最大值 
  9.                 count += nums[j]; 
  10.                 result = count > result ? count : result; 
  11.             } 
  12.         } 
  13.         return result; 
  14.     } 
  15. }; 

以上暴力的解法C++勉强可以过,其他语言就不确定了。

贪心解法

贪心贪的是哪里呢?

如果 -2 1 在一起,计算起点的时候,一定是从1开始计算,因为负数只会拉低总和,这就是贪心贪的地方!

局部最优:当前“连续和”为负数的时候立刻放弃,从下一个元素重新计算“连续和”,因为负数加上下一个元素 “连续和”只会越来越小。

全局最优:选取最大“连续和”

局部最优的情况下,并记录最大的“连续和”,可以推出全局最优。

从代码角度上来讲:遍历nums,从头开始用count累积,如果count一旦加上nums[i]变为负数,那么就应该从nums[i+1]开始从0累积count了,因为已经变为负数的count,只会拖累总和。

这相当于是暴力解法中的不断调整最大子序和区间的起始位置。

那有同学问了,区间终止位置不用调整么?如何才能得到最大“连续和”呢?

区间的终止位置,其实就是如果count取到最大值了,及时记录下来了。例如如下代码:

  1. if (count > result) result = count

这样相当于是用result记录最大子序和区间和(变相的算是调整了终止位置)。

如动画所示:

图片

最大子序和

红色的起始位置就是贪心每次取count为正数的时候,开始一个区间的统计。

那么不难写出如下C++代码(关键地方已经注释)

  1. class Solution { 
  2. public
  3.     int maxSubArray(vector<int>& nums) { 
  4.         int result = INT32_MIN; 
  5.         int count = 0; 
  6.         for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { 
  7.             count += nums[i]; 
  8.             if (count > result) { // 取区间累计的最大值(相当于不断确定最大子序终止位置) 
  9.                 result = count
  10.             } 
  11.             if (count <= 0) count = 0; // 相当于重置最大子序起始位置,因为遇到负数一定是拉低总和 
  12.         } 
  13.         return result; 
  14.     } 
  15. }; 

时间复杂度:O(n) 空间复杂度:O(1)

当然题目没有说如果数组为空,应该返回什么,所以数组为空的话返回啥都可以了。

不少同学认为 如果输入用例都是-1,或者 都是负数,这个贪心算法跑出来的结果是0, 这是又一次证明脑洞模拟不靠谱的经典案例,建议大家把代码运行一下试一试,就知道了,也会理解 为什么 result 要初始化为最小负数了。

动态规划

当然本题还可以用动态规划来做,当前「代码随想录」主要讲解贪心系列,后续到动态规划系列的时候会详细讲解本题的dp方法。

那么先给出我的dp代码如下,有时间的录友可以提前做一做:

  1. class Solution { 
  2. public
  3.     int maxSubArray(vector<int>& nums) { 
  4.         if (nums.size() == 0) return 0; 
  5.         vector<int> dp(nums.size(), 0); // dp[i]表示包括i之前的最大连续子序列和 
  6.         dp[0] = nums[0]; 
  7.         int result = dp[0]; 
  8.         for (int i = 1; i < nums.size(); i++) { 
  9.             dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); // 状态转移公式 
  10.             if (dp[i] > result) result = dp[i]; // result 保存dp[i]的最大值 
  11.         } 
  12.         return result; 
  13.     } 
  14. }; 

时间复杂度:O(n) 空间复杂度:O(n)

总结

本题的贪心思路其实并不好想,这也进一步验证了,别看贪心理论很直白,有时候看似是常识,但贪心的题目一点都不简单!

后续将介绍的贪心题目都挺难的,哈哈,所以贪心很有意思,别小看贪心!

其他语言版本

Java

  1. class Solution { 
  2.     public int maxSubArray(int[] nums) { 
  3.         if (nums.length == 1){ 
  4.             return nums[0]; 
  5.         } 
  6.         int sum = Integer.MIN_VALUE; 
  7.         int count = 0; 
  8.         for (int i = 0; i < nums.length; i++){ 
  9.             count += nums[i]; 
  10.             sum = Math.max(sumcount); // 取区间累计的最大值(相当于不断确定最大子序终止位置) 
  11.             if (count <= 0){ 
  12.                 count = 0; // 相当于重置最大子序起始位置,因为遇到负数一定是拉低总和 
  13.             } 
  14.         } 
  15.        return sum
  16.     } 
  1. // DP 方法 
  2. class Solution { 
  3.     public int maxSubArray(int[] nums) { 
  4.         int ans = Integer.MIN_VALUE; 
  5.         int[] dp = new int[nums.length]; 
  6.         dp[0] = nums[0]; 
  7.         ans = dp[0]; 
  8.  
  9.         for (int i = 1; i < nums.length; i++){ 
  10.             dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]); 
  11.             ans = Math.max(dp[i], ans); 
  12.         } 
  13.  
  14.         return ans; 
  15.     } 

Python

  1. class Solution: 
  2.     def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int
  3.         result = -float('inf'
  4.         count = 0 
  5.         for i in range(len(nums)): 
  6.             count += nums[i] 
  7.             if count > result: 
  8.                 result = count 
  9.             if count <= 0: 
  10.                 count = 0 
  11.         return result 

Go

  1. func maxSubArray(nums []intint { 
  2.     maxSum := nums[0] 
  3.     for i := 1; i < len(nums); i++ { 
  4.         if nums[i] + nums[i-1] > nums[i] { 
  5.             nums[i] += nums[i-1] 
  6.         } 
  7.         if nums[i] > maxSum { 
  8.             maxSum = nums[i] 
  9.         } 
  10.     } 
  11.     return maxSum 

 

责任编辑:姜华 来源: 代码随想录
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