从前序及中序与后序遍历序列构造二叉树登场！

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看完本文，可以一起解决如下两道题目

• 从中序与后序遍历序列构造二叉树
• 从前序与中序遍历序列构造二叉树

从中序与后序遍历序列构造二叉树题

目地址：https://leetcode-cn.com/problems/construct-binary-tree-from-inorder-and-postorder-traversal/

根据一棵树的中序遍历与后序遍历构造二叉树。

注意: 你可以假设树中没有重复的元素。

例如，给出

中序遍历 inorder = [9,3,15,20,7] 后序遍历 postorder = [9,15,7,20,3] 返回如下的二叉树：

思路

首先回忆一下如何根据两个顺序构造一个唯一的二叉树，相信理论知识大家应该都清楚，就是以 后序数组的最后一个元素为切割点，先切中序数组，根据中序数组，反过来在切后序数组。一层一层切下去，每次后序数组最后一个元素就是节点元素。

如果让我们肉眼看两个序列，画一颗二叉树的话，应该分分钟都可以画出来。

流程如图：

从中序与后序遍历序列构造二叉树

那么代码应该怎么写呢?

说到一层一层切割，就应该想到了递归。

来看一下一共分几步：

• 第一步：如果数组大小为零的话，说明是空节点了。
• 第二步：如果不为空，那么取后序数组最后一个元素作为节点元素。
• 第三步：找到后序数组最后一个元素在中序数组的位置，作为切割点
• 第四步：切割中序数组，切成中序左数组和中序右数组 (顺序别搞反了，一定是先切中序数组)
• 第五步：切割后序数组，切成后序左数组和后序右数组
• 第六步：递归处理左区间和右区间

不难写出如下代码：(先把框架写出来)

TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) { 
 
    // 第一步 
    if (postorder.size() == 0) return NULL; 
 
    // 第二步：后序遍历数组最后一个元素，就是当前的中间节点 
    int rootValue = postorder[postorder.size() - 1]; 
    TreeNode* root = new TreeNode(rootValue); 
 
    // 叶子节点 
    if (postorder.size() == 1) return root; 
 
    // 第三步：找切割点 
    int delimiterIndex; 
    for (delimiterIndex = 0; delimiterIndex < inorder.size(); delimiterIndex++) { 
        if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break; 
    } 
 
    // 第四步：切割中序数组，得到 中序左数组和中序右数组 
    // 第五步：切割后序数组，得到 后序左数组和后序右数组 
 
    // 第六步 
    root->left = traversal(中序左数组, 后序左数组); 
    root->right = traversal(中序右数组, 后序右数组); 
 
    return root; 
} 

难点大家应该发现了，就是如何切割，以及边界值找不好很容易乱套。

此时应该注意确定切割的标准，是左闭右开，还有左开又闭，还是左闭又闭，这个就是不变量，要在递归中保持这个不变量。

在切割的过程中会产生四个区间，把握不好不变量的话，一会左闭右开，一会左闭又闭，必然乱套!

我在704.二分查找和59.螺旋矩阵II中都强调过循环不变量的重要性，在二分查找以及螺旋矩阵的求解中，坚持循环不变量非常重要，本题也是。

首先要切割中序数组，为什么先切割中序数组呢?

切割点在后序数组的最后一个元素，就是用这个元素来切割中序数组的，所以必要先切割中序数组。

中序数组相对比较好切，找到切割点(后序数组的最后一个元素)在中序数组的位置，然后切割，如下代码中我坚持左闭右开的原则：

// 找到中序遍历的切割点 
int delimiterIndex; 
for (delimiterIndex = 0; delimiterIndex < inorder.size(); delimiterIndex++) { 
    if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break; 
} 
 
// 左闭右开区间：[0, delimiterIndex) 
vector<int> leftInorder(inorder.begin(), inorder.begin() + delimiterIndex); 
// [delimiterIndex + 1, end) 
vector<int> rightInorder(inorder.begin() + delimiterIndex + 1, inorder.end() ); 

接下来就要切割后序数组了。

首先后序数组的最后一个元素指定不能要了，这是切割点 也是 当前二叉树中间节点的元素，已经用了。

后序数组的切割点怎么找?

后序数组没有明确的切割元素来进行左右切割，不像中序数组有明确的切割点，切割点左右分开就可以了。

此时有一个很重的点，就是中序数组大小一定是和后序数组的大小相同的(这是必然)。

中序数组我们都切成了左中序数组和右中序数组了，那么后序数组就可以按照左中序数组的大小来切割，切成左后序数组和右后序数组。

代码如下：

// postorder 舍弃末尾元素，因为这个元素就是中间节点，已经用过了 
postorder.resize(postorder.size() - 1); 
 
// 左闭右开，注意这里使用了左中序数组大小作为切割点：[0, leftInorder.size) 
vector<int> leftPostorder(postorder.begin(), postorder.begin() + leftInorder.size()); 
// [leftInorder.size(), end) 
vector<int> rightPostorder(postorder.begin() + leftInorder.size(), postorder.end()); 

此时，中序数组切成了左中序数组和右中序数组，后序数组切割成左后序数组和右后序数组。

接下来可以递归了，代码如下：

root->left = traversal(leftInorder, leftPostorder); 
root->right = traversal(rightInorder, rightPostorder); 

完整代码如下：

C++完整代码

class Solution { 
private: 
    TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) { 
        if (postorder.size() == 0) return NULL; 
 
        // 后序遍历数组最后一个元素，就是当前的中间节点 
        int rootValue = postorder[postorder.size() - 1]; 
        TreeNode* root = new TreeNode(rootValue); 
 
        // 叶子节点 
        if (postorder.size() == 1) return root; 
 
        // 找到中序遍历的切割点 
        int delimiterIndex; 
        for (delimiterIndex = 0; delimiterIndex < inorder.size(); delimiterIndex++) { 
            if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break; 
        } 
 
        // 切割中序数组 
        // 左闭右开区间：[0, delimiterIndex) 
        vector<int> leftInorder(inorder.begin(), inorder.begin() + delimiterIndex); 
        // [delimiterIndex + 1, end) 
        vector<int> rightInorder(inorder.begin() + delimiterIndex + 1, inorder.end() ); 
 
        // postorder 舍弃末尾元素 
        postorder.resize(postorder.size() - 1); 
 
        // 切割后序数组 
        // 依然左闭右开，注意这里使用了左中序数组大小作为切割点 
        // [0, leftInorder.size) 
        vector<int> leftPostorder(postorder.begin(), postorder.begin() + leftInorder.size()); 
        // [leftInorder.size(), end) 
        vector<int> rightPostorder(postorder.begin() + leftInorder.size(), postorder.end()); 
 
        root->left = traversal(leftInorder, leftPostorder); 
        root->right = traversal(rightInorder, rightPostorder); 
 
        return root; 
    } 
public: 
    TreeNode* buildTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) { 
        if (inorder.size() == 0 || postorder.size() == 0) return NULL; 
        return traversal(inorder, postorder); 
    } 
}; 

相信大家自己就算是思路清晰， 代码写出来一定是各种问题，所以一定要加日志来调试，看看是不是按照自己思路来切割的，不要大脑模拟，那样越想越糊涂。

下面给出用下表索引写出的代码版本：(思路是一样的，只不过不用重复定义vector了，每次用下表索引来分割)

C++优化版本

那么这个版本写出来依然要打日志进行调试，打日志的版本如下：(该版本不要在leetcode上提交，容易超时)

class Solution { 
private: 
    TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, int inorderBegin, int inorderEnd, vector<int>& postorder, int postorderBegin, int postorderEnd) { 
        if (postorderBegin == postorderEnd) return NULL; 
 
        int rootValue = postorder[postorderEnd - 1]; 
        TreeNode* root = new TreeNode(rootValue); 
 
        if (postorderEnd - postorderBegin == 1) return root; 
 
        int delimiterIndex; 
        for (delimiterIndex = inorderBegin; delimiterIndex < inorderEnd; delimiterIndex++) { 
            if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break; 
        } 
        // 切割中序数组 
        // 左中序区间，左闭右开[leftInorderBegin, leftInorderEnd) 
        int leftInorderBegin = inorderBegin; 
        int leftInorderEnd = delimiterIndex; 
        // 右中序区间，左闭右开[rightInorderBegin, rightInorderEnd) 
        int rightInorderBegin = delimiterIndex + 1; 
        int rightInorderEnd = inorderEnd; 
 
        // 切割后序数组 
        // 左后序区间，左闭右开[leftPostorderBegin, leftPostorderEnd) 
        int leftPostorderBegin =  postorderBegin; 
        int leftPostorderEnd = postorderBegin + delimiterIndex - inorderBegin; // 终止位置是 需要加上 中序区间的大小size 
        // 右后序区间，左闭右开[rightPostorderBegin, rightPostorderEnd) 
        int rightPostorderBegin = postorderBegin + (delimiterIndex - inorderBegin); 
        int rightPostorderEnd = postorderEnd - 1; // 排除最后一个元素，已经作为节点了 
 
        cout << "----------" << endl; 
        cout << "leftInorder :"; 
        for (int i = leftInorderBegin; i < leftInorderEnd; i++) { 
            cout << inorder[i] << " "; 
        } 
        cout << endl; 
 
        cout << "rightInorder :"; 
        for (int i = rightInorderBegin; i < rightInorderEnd; i++) { 
            cout << inorder[i] << " "; 
        } 
        cout << endl; 
 
        cout << "leftpostorder :"; 
        for (int i = leftPostorderBegin; i < leftPostorderEnd; i++) { 
            cout << postorder[i] << " "; 
        } 
        cout << endl; 
 
        cout << "rightpostorder :"; 
        for (int i = rightPostorderBegin; i < rightPostorderEnd; i++) { 
            cout << postorder[i] << " "; 
        } 
        cout << endl; 
 
        root->left = traversal(inorder, leftInorderBegin, leftInorderEnd,  postorder, leftPostorderBegin, leftPostorderEnd); 
        root->right = traversal(inorder, rightInorderBegin, rightInorderEnd, postorder, rightPostorderBegin, rightPostorderEnd); 
 
        return root; 
    } 
public: 
    TreeNode* buildTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) { 
        if (inorder.size() == 0 || postorder.size() == 0) return NULL; 
        return traversal(inorder, 0, inorder.size(), postorder, 0, postorder.size()); 
    } 
}; 

从前序与中序遍历序列构造二叉树

题目地址：https://leetcode-cn.com/problems/construct-binary-tree-from-preorder-and-inorder-traversal/

根据一棵树的前序遍历与中序遍历构造二叉树。

注意: 你可以假设树中没有重复的元素。

例如，给出

前序遍历 preorder = [3,9,20,15,7] 中序遍历 inorder = [9,3,15,20,7] 返回如下的二叉树：

从前序与中序遍历序列构造二叉树

思路

本题和106是一样的道理。

我就直接给出代码了。

class Solution { 
private: 
        TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, int inorderBegin, int inorderEnd, vector<int>& preorder, int preorderBegin, int preorderEnd) { 
        if (preorderBegin == preorderEnd) return NULL; 
 
        int rootValue = preorder[preorderBegin]; // 注意用preorderBegin 不要用0 
        TreeNode* root = new TreeNode(rootValue); 
 
        if (preorderEnd - preorderBegin == 1) return root; 
 
        int delimiterIndex; 
        for (delimiterIndex = inorderBegin; delimiterIndex < inorderEnd; delimiterIndex++) { 
            if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break; 
        } 
        // 切割中序数组 
        // 中序左区间，左闭右开[leftInorderBegin, leftInorderEnd) 
        int leftInorderBegin = inorderBegin; 
        int leftInorderEnd = delimiterIndex; 
        // 中序右区间，左闭右开[rightInorderBegin, rightInorderEnd) 
        int rightInorderBegin = delimiterIndex + 1; 
        int rightInorderEnd = inorderEnd; 
 
        // 切割前序数组 
        // 前序左区间，左闭右开[leftPreorderBegin, leftPreorderEnd) 
        int leftPreorderBegin =  preorderBegin + 1; 
        int leftPreorderEnd = preorderBegin + 1 + delimiterIndex - inorderBegin; // 终止位置是起始位置加上中序左区间的大小size 
        // 前序右区间, 左闭右开[rightPreorderBegin, rightPreorderEnd) 
        int rightPreorderBegin = preorderBegin + 1 + (delimiterIndex - inorderBegin); 
        int rightPreorderEnd = preorderEnd; 
 
        root->left = traversal(inorder, leftInorderBegin, leftInorderEnd,  preorder, leftPreorderBegin, leftPreorderEnd); 
        root->right = traversal(inorder, rightInorderBegin, rightInorderEnd, preorder, rightPreorderBegin, rightPreorderEnd); 
 
        return root; 
    } 
 
public: 
    TreeNode* buildTree(vector<int>& preorder, vector<int>& inorder) { 
        if (inorder.size() == 0 || preorder.size() == 0) return NULL; 
 
        // 参数坚持左闭右开的原则 
        return traversal(inorder, 0, inorder.size(), preorder, 0, preorder.size()); 
    } 
}; 

思考题

前序和中序可以唯一确定一颗二叉树。

后序和中序可以唯一确定一颗二叉树。

那么前序和后序可不可以唯一确定一颗二叉树呢?

前序和后序不能唯一确定一颗二叉树!，因为没有中序遍历无法确定左右部分，也就是无法分割。

举一个例子：

从中序与后序遍历序列构造二叉树2

tree1 的前序遍历是[1 2 3]， 后序遍历是[3 2 1]。

tree2 的前序遍历是[1 2 3]， 后序遍历是[3 2 1]。

那么tree1 和 tree2 的前序和后序完全相同，这是一棵树么，很明显是两棵树!

所以前序和后序不能唯一确定一颗二叉树!

总结

之前我们讲的二叉树题目都是各种遍历二叉树，这次开始构造二叉树了，思路其实比较简单，但是真正代码实现出来并不容易。

所以要避免眼高手低，踏实的把代码写出来。

我同时给出了添加日志的代码版本，因为这种题目是不太容易写出来调一调就能过的，所以一定要把流程日志打出来，看看符不符合自己的思路。

大家遇到这种题目的时候，也要学会打日志来调试(如何打日志有时候也是个技术活)，不要脑动模拟，脑动模拟很容易越想越乱。

最后我还给出了为什么前序和中序可以唯一确定一颗二叉树，后序和中序可以唯一确定一颗二叉树，而前序和后序却不行。

认真研究完本篇，相信大家对二叉树的构造会清晰很多。

其他语言版本

Java

从中序与后序遍历序列构造二叉树

class Solution { 
    public TreeNode buildTree(int[] inorder, int[] postorder) { 
        return buildTree1(inorder, 0, inorder.length, postorder, 0, postorder.length); 
    } 
    public TreeNode buildTree1(int[] inorder, int inLeft, int inRight, 
                               int[] postorder, int postLeft, int postRight) { 
        // 没有元素了 
        if (inRight - inLeft < 1) { 
            return null; 
        } 
        // 只有一个元素了 
        if (inRight - inLeft == 1) { 
            return new TreeNode(inorder[inLeft]); 
        } 
        // 后序数组postorder里最后一个即为根结点 
        int rootVal = postorder[postRight - 1]; 
        TreeNode root = new TreeNode(rootVal); 
        int rootIndex = 0; 
        // 根据根结点的值找到该值在中序数组inorder里的位置 
        for (int i = inLeft; i < inRight; i++) { 
            if (inorder[i] == rootVal) { 
                rootIndex = i; 
            } 
        } 
        // 根据rootIndex划分左右子树 
        root.left = buildTree1(inorder, inLeft, rootIndex, 
                postorder, postLeft, postLeft + (rootIndex - inLeft)); 
        root.right = buildTree1(inorder, rootIndex + 1, inRight, 
                postorder, postLeft + (rootIndex - inLeft), postRight - 1); 
        return root; 
    } 
} 

从前序与中序遍历序列构造二叉树

class Solution { 
    public TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) { 
        return helper(preorder, 0, preorder.length - 1, inorder, 0, inorder.length - 1); 
    } 
 
    public TreeNode helper(int[] preorder, int preLeft, int preRight, 
                           int[] inorder, int inLeft, int inRight) { 
        // 递归终止条件 
        if (inLeft > inRight || preLeft > preRight) return null; 
 
        // val 为前序遍历第一个的值，也即是根节点的值 
        // idx 为根据根节点的值来找中序遍历的下标 
        int idx = inLeft, val = preorder[preLeft]; 
        TreeNode root = new TreeNode(val); 
        for (int i = inLeft; i <= inRight; i++) { 
            if (inorder[i] == val) { 
                idx = i; 
                break; 
            } 
        } 
 
        // 根据 idx 来递归找左右子树 
        root.left = helper(preorder, preLeft + 1, preLeft + (idx - inLeft), 
                         inorder, inLeft, idx - 1); 
        root.right = helper(preorder, preLeft + (idx - inLeft) + 1, preRight, 
                         inorder, idx + 1, inRight); 
        return root; 
    } 
} 

Python

从前序与中序遍历序列构造二叉树

class Solution: 
    def buildTree(self, preorder: List[int], inorder: List[int]) -> TreeNode: 
        # 第一步: 特殊情况讨论: 树为空. 或者说是递归终止条件 
        if not preorder: 
            return None 
 
        # 第二步: 前序遍历的第一个就是当前的中间节点. 
        root_val = preorder[0] 
        root = TreeNode(root_val) 
 
        # 第三步: 找切割点. 
        separator_idx = inorder.index(root_val) 
 
        # 第四步: 切割inorder数组. 得到inorder数组的左,右半边. 
        inorder_left = inorder[:separator_idx] 
        inorder_right = inorder[separator_idx + 1:] 
 
        # 第五步: 切割preorder数组. 得到preorder数组的左,右半边. 
        # ⭐️ 重点1: 中序数组大小一定跟前序数组大小是相同的. 
        preorder_left = preorder[1:1 + len(inorder_left)] 
        preorder_right = preorder[1 + len(inorder_left):] 
 
        # 第六步: 递归 
        root.left = self.buildTree(preorder_left, inorder_left) 
        root.right = self.buildTree(preorder_right, inorder_right) 
 
        return root 

从中序与后序遍历序列构造二叉树

class Solution: 
    def buildTree(self, inorder: List[int], postorder: List[int]) -> TreeNode: 
        # 第一步: 特殊情况讨论: 树为空. (递归终止条件) 
        if not postorder: 
            return None 
 
        # 第二步: 后序遍历的最后一个就是当前的中间节点. 
        root_val = postorder[-1] 
        root = TreeNode(root_val) 
 
        # 第三步: 找切割点. 
        separator_idx = inorder.index(root_val) 
 
        # 第四步: 切割inorder数组. 得到inorder数组的左,右半边. 
        inorder_left = inorder[:separator_idx] 
        inorder_right = inorder[separator_idx + 1:] 
 
        # 第五步: 切割postorder数组. 得到postorder数组的左,右半边. 
        # ⭐️ 重点1: 中序数组大小一定跟后序数组大小是相同的. 
        postorder_left = postorder[:len(inorder_left)] 
        postorder_right = postorder[len(inorder_left): len(postorder) - 1] 
 
        # 第六步: 递归 
        root.left = self.buildTree(inorder_left, postorder_left) 
        root.right = self.buildTree(inorder_right, postorder_right) 
 
        return root