在本文中，我将介绍两个能够对时间序列进行建模的模型：随机游走和移动平均过程。
随机游走模型
随机游走模型由以下公式表示：
换句话说，当前时刻t的位置是前一时刻(t-1)的位置与噪声(用z表示)之和。这里我们假设噪声是正态分布的(均值为0，方差为1)。
我们从0开始随机游走，也就是说，任何时间点都是该时间之前所有噪声的和。数学上表示为：
让我们在Python中模拟随机游走。
首先，我们导入所需的Python库：
- from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
- from statsmodels.tsa.arima_process import ArmaProcess
- from statsmodels.tsa.stattools import acf
- import matplotlib.pyplot as plt
- import numpy as np
- %matplotlib inline
然后，我们生成一个包含1000个数据点的数据集。起点是0，我们将随机噪声添加到上一个点以生成下一个点：
- steps = np.random.standard_normal(1000)
- steps[0]=0
- random_walk = np.cumsum(steps)
绘制数据集的Python代码如下：
- plt.figure(figsize=[10, 7.5]); # Set dimensions for figure
- plt.plot(random_walk)
- plt.title("Simulated Random Walk")
- plt.show()
模拟随机游走
你的随机行走可能与上面的图不同，因为噪声是随机的。
现在，让我们看看我们的随机游走的自相关图(或相关图)：
- random_walk_acf_coef = acf(random_walk)
- plot_acf(random_walk, lags=20);
随机游走的相关图
不管你的随机游走看起来像什么，你都应该得到一个非常相似的相关图。
现在，一切都指向数据集中的趋势。我们可以改变这种趋势吗?答案是肯定的。
让我们在Python中进行验证。
- random_walk_diff = np.diff(random_walk, n=1)
然后我们绘制结果：
- plt.figure(figsize=[10, 7.5]); # Set dimensions for figure
- plt.plot(random_walk_diff)
- plt.title('Noise')
- plt.show()
如您所见，上面的图没有趋势，也没有季节性，是一个完全随机的过程。
查看相关图的python代码如下：
- plot_acf（random_walk_diff，lags = 20）;
我们看到这是一个纯随机过程的相关图，其中自相关系数在滞后1处下降。
移动平均过程
我们先来直观了解一下什么是移动平均过程。
假设你把一块石头扔进一个池塘里，你要追踪水面上一滴水的位置。当石头撞击水面时，会形成波纹，所以我们要跟踪的水滴会上下移动。让我们假设波纹只持续两秒钟，在这两秒钟之后，水面就会完全变平。
我们的水滴位置可以表示为：
上面的方程表示，X在t时刻的位置取决于t时刻的噪声，加上t-1时刻的噪声(有一定的权重THETA)，加上t-2时刻的噪声(有一定的权值)。
这被称为二阶移动平均过程，可以表示为MA(2)。
通用表示法是MA(q)。在上面的示例中，q = 2。
让我们在Python中模拟此过程。具体来说，我们将模拟以下过程：
这是一个二阶移动平均过程，我们指定了权重。您可以随意更改权重，并对参数进行试验。
我们从指定滞后开始，我们用的是2。
- ar2 = np.array（[2]）
然后，我们指定权重，权重为[1、0.9、0.3]。
- ma2 = np.array([1, 0.9, 0.3])
最后，我们模拟该过程并生成1000个数据点：
- MA2_process = ArmaProcess(ar2, ma2).generate_sample(nsample=1000)
现在，让我们可视化该过程及其相关图：
- plt.figure(figsize=[10, 7.5]); # Set dimensions for figure
- plt.plot(MA2_process)
- plt.title('Moving Average Process of Order 2')
- plt.show()
- plot_acf(MA2_process, lags=20);
由于噪声是随机产生的，因此您的图形可能与我的不同。但相关图应与下图类似：
正如您所注意到的，相关性在滞后2之前是显著的。这很有意义，因为我们指定了滞后为2。
这意味着您可以使用相关图来推断时间序列的滞后。如果您看到滞后q之后相关性并不显著，那么您可以将时间序列建模为MA(q)过程。
最后
通过本文，您了解了随机游走是什么以及如何对其进行模拟。此外，您还学习了移动平均过程，并了解了如何对其建模。
