使用Python进行线性规划示例

开发 后端
运筹学是一种科学的决策方法,它通常是在需要分配稀缺资源的条件下,寻求系统的优秀设计。科学的决策方法需要使用一个或多个数学模型(优化模型)来做出最优决策。

 运筹学

运筹学是一种科学的决策方法,它通常是在需要分配稀缺资源的条件下,寻求系统的优秀设计。科学的决策方法需要使用一个或多个数学模型(优化模型)来做出最优决策。

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优化模型试图在满足给定约束的决策变量的所有值的集合中,找到优化(最大化或最小化)目标函数的决策变量的值。 它的三个主要组成部分是:

  1. 目标函数:要优化的函数(最大化或最小化)。
  2. 决策变量:影响系统性能的可控变量。
  3. 约束:决策变量的一组约束(即线性不等式或等式)。非负性约束限制了决策变量取正值。

优化模型的解称为最优可行解。

建模步骤

对运筹学问题进行准确建模是很重要的任务,也是很困难的任务。错误的模型会导致错误的解决方案,从而不能解决原来的问题。团队成员应按照以下步骤进行建模:

  1. 问题定义:定义项目的范围,并确定三个要素:决策变量、目标和限制(即约束)。
  2. 模型构建:将问题定义转化为数学关系。
  3. 模型求解:使用标准优化算法。在获得解后,需要进行灵敏度分析,以找出由于某些参数的变化而导致的解的行为。
  4. 模型有效性:检查模型是否按预期工作。
  5. 实现:将模型和结果转换为解决方案。

线性规划

线性规划(Linear Programming,也称为LP)是一种运筹学技术,当当所有的目标和约束都是线性的(在变量中)并且当所有的决策变量都是连续的时使用。线性规划是最简单的运筹学方法。

Python的SciPy库包含用于解决线性编程问题的linprog函数。在使用linprog时,编写代码要考虑的两个注意事项:

  1. 这个问题必须表述为一个最小化问题。
  2. 不等式必须表示为≤。

最小化问题

让我们考虑以下要解决的最小化问题:

 

使用Python进行线性规划示例

 

让我们看一下Python代码:

 

  1. # Import required libraries 
  2. import numpy as np 
  3. from scipy.optimize import linprog 
  4.  
  5. Set the inequality constraints matrix 
  6. # Note: the inequality constraints must be in the form of <= 
  7. A = np.array([[-1, -1, -1], [-1, 2, 0], [0, 0, -1], [-1, 0, 0], [0, -1, 0], [0, 0, -1]]) 
  8.  
  9. Set the inequality constraints vector 
  10. b = np.array([-1000, 0, -340, 0, 0, 0]) 
  11.  
  12. Set the coefficients of the linear objective function vector 
  13. c = np.array([10, 15, 25]) 
  14.  
  15. # Solve linear programming problem 
  16. res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b) 
  17.  
  18. # Print results 
  19. print('Optimal value:', round(res.fun, ndigits=2), 
  20.       '\nx values:', res.x, 
  21.       '\nNumber of iterations performed:', res.nit, 
  22.       '\nStatus:', res.message) 

输出结果:

 

  1. # Optimal value: 15100.0  
  2. # x values: [6.59999996e+02 1.00009440e-07 3.40000000e+02]  
  3. # Number of iterations performed: 7  
  4. # Status: Optimization terminated successfully. 

最大化问题

由于Python的SciPy库中的linprog函数是用来解决最小化问题的,因此有必要对原始目标函数进行转换。通过将目标函数的系数乘以-1(即通过改变其符号),可以将最小化问题转化为一个最大化问题。

让我们考虑下面需要解决的最大化问题:

 

使用Python进行线性规划示例

 

让我们看一下Python的实现:

 

  1. # Import required libraries 
  2. import numpy as np 
  3. from scipy.optimize import linprog 
  4.  
  5. Set the inequality constraints matrix 
  6. # Note: the inequality constraints must be in the form of <= 
  7. A = np.array([[1, 0], [2, 3], [1, 1], [-1, 0], [0, -1]]) 
  8.  
  9. Set the inequality constraints vector 
  10. b = np.array([16, 19, 8, 0, 0]) 
  11.  
  12. Set the coefficients of the linear objective function vector 
  13. # Note: when maximizing, change the signs of the c vector coefficient 
  14. c = np.array([-5, -7]) 
  15.  
  16. # Solve linear programming problem 
  17. res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b) 
  18.  
  19. # Print results 
  20. print('Optimal value:', round(res.fun*-1, ndigits=2), 
  21.       '\nx values:', res.x, 
  22.       '\nNumber of iterations performed:', res.nit, 
  23.       '\nStatus:', res.message) 

上述代码的输出结果为:

 

  1. # Optimal value: 46.0  
  2. # x values: [5. 3.]  
  3. # Number of iterations performed: 5  
  4. # Status: Optimization terminated successfully. 

最后

线性规划为更好的决策提供了一种很好的优化技术。Python的SciPy库中的linprog函数允许只用几行代码就可以解决线性编程问题。虽然还有其他免费的优化软件(如GAMS、AMPL、TORA、LINDO),但使用linprog函数可以节省大量时间。

责任编辑:华轩 来源: 今日头条
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