对台阶步数问题的数学分析及更优解探索

开发 后端
对台阶步数问题提出简单分析,探索是否存在更优解的方案。

问题

有这样一个关于台阶和步数的题目:

假设A上台阶,一次可以跨1层,2层,3层.. 或m层,问A上n层台阶,有多少种走法?其中,m和n都是正整数,并且 m <= n

对台阶步数问题提出简单分析,探索是否存在更优解的方案。

 

分析

这个问题等价于:

对于数n,有多少种方案让小于n的数相加等于n,且这些数中的***数不超过m(m<=n) 

首先考虑m=n时情况

有多少种方案把n拆分成1...n份:

当n=2时,分1种{2},分2种{1*2}

当n=3时,分1种{3},分2种[1,2]的排列,分3种{1*3}

当n=4时,分1种{4},分2种[1,3][2,2]的排列,分3种[1,1,2]的排列,分4种{1*4}

当n=5时,分1种{5},分2种[1,4][2,3]的排列,分3种[1,1,3][1,2,2]的排列,分4种[1,1,1,2]的排列,分5种{1*5}

当n=6时,分1种{6},分2种[1,5][2,4][3,3]的排列,分3种[1,1,4][1,2,3][2,2,2]的排列,分4种[1,1,1,3][1,1,2,2]的排列,分5种[1,1,1,1,2]的排列,分6种1*6

……

于是每一步分法都是一个将整数n的进行有序k分拆问题。

根据组合数学定理:正整数n的有序k分拆的个数等于。即(n-1)选(k-1)的组合数。

这正是杨辉三角的第n行第k项的通项

于是,可以得到:

那么 k→1...n 总方案数(即为n从1拆分到n拆分的和的函数,用S(n)记号表示)

   (根据杨辉三角性质)


 

考虑1<m<n的情况:

(非常抱歉因疏于严谨上一版中该部分推测有误,经查证后给出准确方法。特别感谢 @张晋坤 @顾健 等同学的斧正。)

当m<n时,该问题可以描述为,设k施一个给定的正整数,设hk(n)表示将正整数n拆分分部量只含1,2,3...k的有序分拆数。该问题符合广义斐波那契数定义,则hk(n)满足:

当n<=k时,hk(n)=2n-1

当n>k>=2时,hk(n)=hk(n-1)+hk(n-2)+...+hk(n-k)

因为n<=k时,正整数n拆成分部量只含1,2..k的有序分拆数,就是n的有序分拆数,而n得有序分拆数就是2n-1

所以,根据定理写出了此迭代的循环版本,如下面的wideFib方法。 

总结

以上总结,可以用一分段函数来描述这个问题的通解: 

当m=n时复杂度为O(1)

当m<n时复杂度为O(nm+n),虽然未能达到线性复杂度,但也能看出具有更小的常数阶。

所以有一定程度的优化改善。

 

示例

利用上面的结论,给出如下代码:

  1. //java  
  2.     
  3.     static long stepsOfTerrace(int n, int m) {  
  4.         if (m > n || n < 2)  
  5.             throw new IllegalArgumentException();  
  6.         if (m == n)  
  7.             return (long) Math.pow(2, n - 1);  
  8.         else if (m > 1)  
  9.             return wideFib(n , m);  
  10.         else 
  11.             return n;  
  12.     }  
  13.  
  14.     static long wideFib(int n, int k) {  
  15.         long[] steps = new long[n];  
  16.         for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {  
  17.             if (i <= k)    // hk(k)之前序列=2^n-1  
  18.                 steps[i] = (int) Math.pow(2, i - 1);  
  19.             else    // 之后按照广义斐波那契计算  
  20.                 for (int j = i - 1; j >= i - k; j--)  
  21.                     steps[i] += steps[j];  
  22.         }  
  23.         long sum = 0;  
  24.         for (int i = n - k; i <= n - 1; i++)  
  25.             sum += steps[i];  
  26.         return sum;  
  27.     }   

原文链接:http://my.oschina.net/spance/blog/229477

责任编辑:林师授 来源: oschina博客
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