基于多分辨率连续小波神经算子与物理信息约束的时空演化高精度建模与仿真算法

一种基于小波神经算子WNO的深度学习模型，用于求解一维Nagumo方程（一种反应-扩散方程）的时空演化问题。该问题被重构为二维处理，其中空间和时间维度分别作为两个输入维度。首先加载并预处理Nagumo方程的模拟数据，包括初始条件和对应解；然后定义了一个基于连续小波变换的二维WNO网络结构，该网络通过多层小波卷积和线性变换学习从输入（初始条件与时空网格）到输出（解场）的映射；模型支持在不同分辨率（亚采样、训练分辨率、超分辨率）上进行训练和零样本泛化测试；此外还包含基于随机投影的梯度自由方法（用于物理信息约束的损失计算）以及结果的可视化部分。

该算法的应用领域较为广泛，主要集中于科学计算和工程领域的复杂系统建模与仿真，特别是涉及偏微分方程描述的物理过程。其核心应用包括计算流体力学中的湍流模拟、传热传质分析、气象预报中的天气模式建模、金融数学中的期权定价模型（如Black-Scholes方程）、生物数学中的种群动力学与pattern formation研究（如Nagumo方程本身描述的神经脉冲传播或生态竞争），以及材料科学中的相场模拟等。该算法通过融合小波分析的多分辨率特性和神经算子的泛化能力，能够高效学习高维参数化PDE的解算子，适用于需要快速推演、多尺度建模或数据与物理规律融合的复杂科学计算场景。

算法的详细步骤如下：

首先进行数据准备：加载预先计算好的Nagumo方程数据集，包含初始条件和解场；对空间和时间网格进行插值处理以适应网络输入尺寸；划分训练集与测试集。

接着进行数据预处理：对输入数据进行子采样以构建不同分辨率的数据集；使用高斯归一化器对输入和解场进行标准化处理；将标准化后的初始条件与时空网格坐标拼接作为网络输入。

然后构建网络模型：定义二维连续小波卷积层，初始化小波滤波器及变换参数；通过多层小波卷积与线性变换构建编码-解码结构的WNO网络；设置网络参数如小波类型、分解层数、通道数等。

随后进行模型训练：若为数据驱动模式，直接使用解场的均方误差作为损失函数；若为物理信息模式，采用随机投影梯度自由方法计算物理约束损失；使用Adam优化器进行训练，并采用学习率衰减策略。

训练完成后进行模型预测：加载训练好的模型参数；对测试集进行预测并将输出反归一化；计算预测解与真实解之间的相对误差。

最后进行结果分析：在多分辨率设置下进行零样本泛化测试；可视化不同分辨率下的预测结果、真实解及误差分布；生成三维曲面图对比时空演化过程。

本文转载自​​高斯的手稿​​